Mappa concettuale e riassunto sulla geometria piana

La geometria piana è una  parte fondamentale della geometria euclidea e si occupa di definire tutto ciò che riguarda il piano.  Una delle figure geometriche che rientrano nella geometria piana è il poligono, costituito da lati e vertici.  La geometria piana comprende anche le sezioni coniche. 

In questa mappa concettuale vengono descritte alcune concetti quali:

La geometria piana è un ramo della geometria euclidea che si occupa nel particolare di studiare tutto ciò che riguarda il piano.

Negli Elementi di Euclide, la più importante opera matematica giunta dalla Grecia antica, viene illustrata la geometria euclidea, la quale si basa su alcuni concetti fondamentali come quello di punto e retta. Da questi concetti se ne possono definire altri molto importanti come quelli di angolo, semiretta e segmento.

La geometria analitica si occupa di dare un nome a questi elementi mediante l’introduzione di un piano cartesiano. Il piano cartesiano ci permette, infatti, di assegnare ad un qualsiasi punto del piano P una coppia di numeri reali (x,y). 

Dalla definizione di punto è possibile definire gli altri elementi, per esempio la retta, come luogo dei punti che soddisfano determinate condizioni.

Non tutti gli elementi della geometria piana  necessitano di una coppia di coordinate per essere descritti, come per esempio il triangolo e il poligono oppure i concetti di parallelismo e ortogonalità tra rette.

Tra le principali figure geometriche in geometria piana troviamo il poligono e le sezioni coniche.

Un poligono è delimitato da una linea spezzata chiusa, ovvero una successione di segmenti ognuno legato all’altro e dove l’ultimo si lega al primo. Ogni segmento rappresenta un lato del poligono. In base al numero di lati si parla di triangolo (3 lati), quadrilatero (4 lati), eccetera. 

Per ogni tipo di poligono è possibile calcolare la sua area e il suo perimetro. Esistono delle formule che permettono di ottenere tali valori a partire dalla lunghezza dei lati e/o l’ampiezza degli angoli. 

Le sezioni coniche sono oggetti curvilinei come la circonferenza, la parabola, l’ellisse e l’iperbole. Una grandezza fondamentale utile per calcolare alcune caratteristiche delle sezioni coniche è il raggio.

Una definizione di poligono è ‘’un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa’’. 

Per linea spezzata si intende, invece, un insieme finito e ordinato di segmenti consecutivi ( i lati) e non  adiacenti.  Per chiusa si intende che il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo segmento.

Una linea  pezzata è detta semplice quando due lati non successivi non si intersecano (esclusi il primo e l’ultimo lato).  

Per vertice si intende il punto in comune a due lati consecutivi. 

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La classificazione dei poligoni può avvenire in base al numero di lati : triangolo (3), quadrilatero (4), pentagono (5), esagono (6), ettagono (7), ottagono (8), ennagono (9), decagono (10), eccetera. 

Una seconda classificazione può essere fatta in base alla convessità. Si può dire che un poligono è: 

• semplice: i lati non si intersecano;
• complesso o intrecciato: se non è semplice;
• convesso: ogni angolo interno è minore di un angolo piatto o anche se il prolungamento di uno dei  segmenti va al di fuori del poligono;
• concavo: anche un solo angolo interno è maggiore dell’angolo piatto o anche se il prolungamento di uno dei segmenti cade all’interno del poligono. 

Infine, possono essere classificati in base alla simmetria: 

• equilatero: tutti i suoi lati sono uguali;
• equiangolo:  tutti i suoi angoli sono uguali;
• regolare: è convesso, equilatero ed equiangolo;
• irregolare: se non è regolare.

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati meno due. 

Per calcolare l’area si utilizza la formula dell’area di Gauss.

In matematica per sezione conica si intende una curva piana che è il luogo dei punti ottenuti intersecando la superficie di un cono circolare con un piano. Le coniche fondamentali sono: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole.  

E’ possibile definire una sezione conica anche sulla base dei concetti della geometria piana data una retta D  (retta direttrice), un punto detto F (fuoco) e un numero detto eccentricità e maggiore e uguale di zero. 

La sezione conica è il luogo dei punti in cui la distanza da F è uguale al prodotto di e per la rispettiva distanza da D. Si ha che: 

• se 0<e<1 si parla di ellisse;
• se e=1 si parla di parabola;
• se e>1 si parla di iperbole.

L’eccentricità permette di valutare quanto una sezione conica si allontana dalla forma circolare o tende, al limite, a una retta.

Se si considera l'equazione quadratica nella forma 

ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f=0

si ha che se:

• se b²-ac=0 l'equazione rappresenta una parabola;
• se b²-ac<0 l'equazione determina una ellisse;
• se a=0 e b=0 l'equazione rappresenta una circonferenza;
• se b²-ac>0 l'equazione rappresenta una iperbole;
• se a+c=0 l'equazione rappresenta una iperbole equilatera.